Wewnątrz horyzontu

Urania – PA 6/2009

Wewnątrz horyzontu

Krzysztof Bolejko

Z doświadczeń dnia codziennego każdy wie, co to jest horyzont. Jest to powierzchnia, która oddziela to, co możemy zobaczyć, od tego, co jest niedostępne obserwacjom. Granicą między niebem a ziemią jest widnokrąg, często utożsamiany z horyzontem (rys. 1).

Rys. 1 Rys. 1. Stosując prawo Pitagorasa (d2 = (R + h)2 ? R2) i kilka przybliżeń, możemy oszacować, że odległość do widnokręgu wynosi d = (2hR)1/2, co, jeśli wyrazić w kilometrach i wprowadzić kolejne przybliżenia, da nam formułę d = (13h)1/2, gdzie h jest wysokością wyrażoną w metrach. Np. dla 2-metrowego człowieka widnokrąg oddalony jest o około 5 km

Z pojęciem horyzontu można się spotkać także w astronomii. Najprostszym uogólnieniem ziemskiego horyzontu jest horyzont cząstek. Horyzont cząstek oddziela tę część Wszechświata dostępną w chwili obecnej obserwacjom od tej, z której światło jeszcze nie zdążyło do nas dotrzeć. Nazwa bierze się stąd, że cząstki we wnętrzu horyzontu są w kontakcie przyczynowo-skutkowym.

W kosmologii horyzont ten nazywany jest horyzontem kosmologicznym. Odległość do horyzontu kosmologicznego jest więc równa promieniowi obserwowalnego Wszech­świa­ta.

W praktyce jednak nie możemy „sięgnąć” z obserwacjami aż tak daleko. Obecnie graniczną powierzchnią dostępną obserwacjom elektromagnetycznym (optyka, radio, X-ray…) jest powierzchnia ostatniego rozproszenia. Ponieważ światło podróżuje ze skończoną prędkością, to im bardziej odlegly obiekt, tym widzimy go na wcześniejszym etapie jego ewolucji. Powierzchnia ostatniego rozproszenia to rejon Wszechświata, który, jakim go obserwujemy, był zaledwie około 500 tys. lat po Wielkim Wybuchu. Dalszych rejonów nie sposób zaobserwować, gdyż temperatura odleglejszych rejonów jest (a właściwie była w przeszłości) na tyle duża, że światło nie mogło przez nie swobodnie się propagować. W przyszłości jednak, jeśli uda się skonstruować „neutrinowy teleskop”, będziemy mogli sięgnąć do jeszcze odleglejszych rejonów — do powierzchni ostatniego rozproszenia neutrin. Teoretyczne jeszcze dalsze rejony można by zaobserwować w falach grawitacyjnych. Z praktycznego punktu widzenia odległość cząstek do horyzontu niewiele się różni od odległości do powierzchni ostatniego rozproszenia.

Nie jest to jedyny horyzont, z jakim możemy spotkać się w astronomii. Zapewne większość Czytelników zetknęła się już kiedyś z terminem horyzontu zdarzeń. Horyzont zdarzeń oddziela tę część Wszechświata, którą obserwator może i będzie w stanie zaobserwować (nawet jeśli obserwowałby przez całą nieskończoność), od tej, której nigdy nie zaobserwuje. Takim właśnie horyzontem otoczona jest czarna dziura. Obserwator znajdujący się we wnętrzu czarnej dziury nigdy nie będzie w stanie zaobserwować tego, co znajduje się poza horyzontem.

Przy tej okazji przytoczymy wzór na rozmiar horyzontu czarnej dziury (dokładnie mówiąc czarnej dziury Schwarzschilda, a więc nie rotującej i pozbawionej ładunku elektrycznego):

r = 2Gm/c2, (1)

gdzie G jest stałą grawitacji, c prędkością światła, a m masą czarnej dziury.

Z praktycznego punktu widzenia ten typ horyzontu jest niemożliwy do wyznaczenia.

Chwila zastanowienia i pojawia się zwątpienie — jak to nie da się wyznaczyć? Przecież wystarczy, że z obserwacji ruchu gwiazd wokół czarnej dziury oszacuję jej masę i wstawię do powyższego wzoru i mam wyznaczony promień horyzontu! Zgadza się. Ale co, jeśli za rok albo milion lat do naszej czarnej dziury wpadnie jakaś gwiazda? Wówczas jej masa zwiększy się, co sprawi, że i promień horyzontu się zwiększy. A to oznacza, że nasz pierwotnie wyznaczony horyzont nie będzie już horyzontem zdarzeń. Definicja horyzontu zdarzeń wymaga bowiem, aby oddzielał on rejony obserwowane od tych niemożliwych do obserwacji, nawet jeśli obserwator prowadziłby je aż do nieskończoności. Gdybyśmy mieli pewność, że nic nie wpadnie do naszej czarnej dziury, wówczas wszystko byłoby w porządku. W rzeczywistości jednak żadna czarna dziura nie jest idealnie odizolowana i zawsze akreuje materię z otoczenia. To oznacza, że nie możemy mieć nawet pewności, czy nie znajdujemy się obecnie we wnętrzu horyzontu zdarzeń! Jeśli w astronomicznie dalekiej przyszłości (nawet nie miliardy, ale powiedzmy setki trylionów lat) masa czarnej dziury znajdującej się w centrum naszej Galaktyki tak się powiększy, że jej horyzont będzie większy niż 8,5 kpc (co jest akurat w przybliżeniu odległością, w jakiej Słońce znajduje się od centrum Galaktyki) tego nie wiemy i nie sposób tego stwierdzić. Dociekliwy czytelnik może nawet wyliczyć, jak wielka musiałaby być masa takiej czarnej dziury, aby jej promień horyzontu wynosił 8,5 kpc (przy okazji takiego wyliczenia proponuję wyznaczyć średnią gęstość czarnej dziury i porównać ją np. z gęstością powietrza atmosferycznego). W praktyce więc horyzont zdarzeń jest niewyznaczalny i bardziej użyteczne jest pojęcie horyzontu widocznego (z ang. apparent horizon, co czasem tłumaczy się też jako horyzont pozorny).

Ścisła definicja horyzontu widocznego to maksymalna otoczka powierzchni złapanej. Powierzchnia złapana to taka powierzchnia, z której jeśli wyśle się promień światła, to niezależnie od kierunku taki promień zamiast propagować się na zewnątrz, będzie zbiegał ku centrum.

Dla sferycznie symetrycznych i niestacjonarnych czasoprzestrzeni horyzont widoczny dany jest wzorem

r = 2GM(t,r)/c2. (2)
Rys. 2 Rys. 2. Stożek światła w standardowym modelu kosmolo­gicz­nym (linia przerywana), dla porównania linia ciągła przedstawia stożek światła dla pustego, pozbawionego krzywizny modelu Minkowskiego (czaso­przestrzeń Minkowskiego stanowi tło dla szczególnej teorii względności). Wykropkowana linia jest linią świata pewnej galaktyki odległej od nas w chwili obecnej o 5 Gpc (16,3 mld lat świetlnych). Z miejsca przecięcia linii świata galaktyki ze stożkiem możemy odczytać, że galaktykę tę widzimy taką, jaką była około 3,2 mld lat po Wielkim Wybuchu

Uderzające jest podobieństwo do wzoru na horyzont zdarzeń, z tą różnicą, że M jest aktualną masą obiektu. A zatem jeśli z obserwacji astronomicznych potrafimy wyznaczyć masę czarnej dziury, to także możemy wyznaczyć jej horyzont widoczny. Horyzont widoczny pojawia się nie tylko w przypadku czarnych dziur, ale także i w zagadnieniach kosmologicznych. Przy czym w kosmologii wprowadza się dodatkowy podział horyzontu widocznego na horyzont widoczny przyszły i horyzont widoczny przeszły. Horyzont widoczny przyszły to ten, który został opisany powyżej. Przydawka „przyszły” wiąże się z tym, że jeżeli wyślemy promień światła w kierunku czarnej dziury, to w przyszłości światło przekroczy horyzont.

Horyzont widoczny przeszły jest analogicznym pojęciem do horyzontu widocznego przyszłego z tą różnicą, że zamiast śledzić bieg promieni świetlnych w przyszłość, skupiamy się na ich propagacji w przeszłość.

Zróbmy więc eksperyment myślowy i prześledźmy bieg promieni świetlnych wysłanych w przeszłość.

Im dłużej nasz sygnał się propaguje, tym sięga dalszych rejonów. Musimy jednak pamiętać, że Wszechświat cały czas się rozszerza. W momencie Wielkiego Wybuchu odległość między dwoma punktami we Wszechświecie wynosiła zero. A zatem w pewnej chwili nasz promień światła osiągnie punkt, w którym z powodu ekspansji Wszechświata (a właściwie jego kontrakcji, gdyż odwróciliśmy kierunek biegu czasu) fizyczna odległość między nami a frontem fali świetlnej zacznie maleć. Czyli zgodnie z podaną powyżej definicją powierzchnia frontu naszej fali świetlnej jest powierzchnią złapaną. Punkt krytyczny, w którym odległość między nami a frontem fali zaczyna maleć, jest więc odległością do horyzontu widocznego przeszłego.

Sytuacja ta jest widoczna na rys. 2, który przedstawia stożek świetlny dla standardowego modelu kosmologicznego (tu model Friedmana-Lemaitre'a z H0 = 72 km s–1 Mpc–1, ?M = 0,3 i ?? = 0,7). Stożek ten zaznaczony jest linią przerywaną i przedstawia położenie frontu fali świetlnej wysłanej w przeszłość. Dla porównania na rys. 2 przedstawiony jest stożek światła w statycznej, pustej i pozbawionej krzywizny czasoprzestrzeni Minkowskiego (linia ciągła), w której front fali opisany jest relacją c2t2 = x2+y2+ z2 (jest to wzór 4-wymiarowego stożka, stąd każdy wykres położenia frontu fali tradycyjnie nazywa się stożkiem świetlnym, pomimo iż w przypadku kosmologicznym nie ma on wcale kształtu stożka).

Rys. 3 Rys. 3. Pomiary odległości na podstawie 307 supernowych. Krzywa (linia przerywana) przedstawia teoretyczną zależność odległości kątowej od przesunięcia ku czerwieni w standardowym modelu kosmologicznym

Zapewne Czytelnik zastanawia się, na ile mierzalne są te efekty ugięcia stożka świetlnego i czy w ogóle można to zaobserwować. Samo ugięcie jest doskonale obserwowalne, o czym można się przekonać, spoglądając na rys. 3. Jednak dokładne wyznaczenie maksimum wciąż stanowi problem.

Rysunek 3 przedstawia pomiar odległości kątowej oszacowywany na podstawie obserwacji supernowych (tzn. z obserwacji supernowych oszacowana została odległość bolometryczna DL i korzystając ze wzoru DL = (1+z)2 DA wyznaczono odległość kątową DA).1 W przypadku modeli z zerową krzywizną przestrzenną DA jest równa odległości między nami a supernową w momencie jej eksplozji. Punkty przedstawiają kolejne obserwacje, natomiast krzywa przedstawia teoretyczną zależność dla standardowego modelu kosmologicznego.

W przyszłości dokładne obserwacje astronomiczne pozwolą na oszacowanie położenia horyzontu widocznego (który odpowiada położeniu maksimum na rys. 3). Taki pomiar pozwoli na niezależne od innych metod obserwacyjnych oszacowanie masy Wszechświata lub/i stałej kosmologicznej ?. Należy bowiem uściślić, że w przypadku niezerowej stałej kosmologicznej położenie horyzontu widocznego nie jest dane relacją (2), lecz jest rozwiązaniem równania:

wzór
Rys. 4 Rys. 4. Stożek światła w modelu standardowym (linia górna) i linia świata galaktyki odległej od nas w chwili obecnej o 5 Gpc (linia dolna)

Na zakończenie skupmy się jeszcze na promieniach wysłanych w przyszłość. Sytuacja ta jest zilustrowana na rys. 4, gdzie przedstawiono nasz stożek świetlny (linia górna) i linie świata pewnej galaktyki (linia dolna — jest to ta sama galaktyka co na rys. 2). Interesująca rzecz dzieje się w przyszłości: sygnał wysłany w chwili obecnej w kierunku tej galaktyki nigdy nie przetnie jej linii świata, a to oznacza, że nigdy do niej nie dotrze. Z tego wynika, że również światło wysłane dziś z tej galaktyki nigdy do nas nie dotrze. Dociekliwy Czytelnik może nawet zapytać, czy zjawisko to jest obserwowalne? Tzn. czy istnieją galaktyki, które mogliśmy obserwować w przeszłości, a które obecnie zniknęły z pola widzenia? Niestety, sygnał świetlny wysłany przez galaktykę w tym granicznym momencie, poza którym już nigdy jej nie zobaczymy, dotrze do nas w nieskończoności. Domyślasz się już pewnie, Czytelniku, że takie znikanie oznacza obecność horyzontu. W standardowym modelu kosmologicznym ekspansja w chwili obecnej przyspiesza (co jest powodowane obecnością stałej kosmologicznej bądź ciemnej energii). W modelach, w których ekspansja odbywa się w tempie przyspieszającym, zawsze istnieją horyzonty zdarzeń. Jeśli więc ciemna energia rzeczywiście istnieje, oznacza to, że w naszym Wszechświecie są rejony, które możemy obserwować tylko do pewnego czasu, oraz rejony, z których nie otrzymaliśmy jeszcze informacji i nigdy ich nie otrzymamy.

Podsumowując, w astronomii mamy do czynienia z kilkoma rodzajami horyzontów. Tym, o którym Czytelnik zapewne najwięcej słyszał, jest horyzont zdarzeń, z racji swej definicji w praktyce niewyznaczalny. W zastosowaniu praktycznym bardziej przydatne jest pojęcie horyzontu widocznego. Istnienie horyzontów zawsze dostarcza dodatkowych informacji. Na Ziemi, jeśli znamy nasz wzrost, możemy wyznaczyć odległość do widnokręgu, lub na odwrót, znając odległość do widnokręgu, możemy oszacować wzrost obserwatora. Analogicznie jeśli z astrofizycznych obserwacji ruchu gwiazd wokół czarnej dziury wyznaczymy jej masę, możemy obliczyć rozmiar jej horyzontu widocznego (przyszłego). W kosmologii zaś dokładne oszacowanie odległości do horyzontu widocznego (przeszłego) pozwoli na wyznaczenie masy rejonu Wszechświata znajdującego się pod horyzontem. To z kolei pozwoli na niezależne od obecnych obserwacji kosmologicznych wyznaczenie parametrów naszego Wszechświata.

W modelach bez stałej kosmologicznej ekspansja Wszechświata zawsze maleje z czasem i dlatego horyzont zdarzeń w nich nie występuje (jedynie modele, które zaczynają kolapsować, posiadają, jak łatwo się domyśleć, horyzont zdarzeń).

Dr Krzysztof Bolejko jest adiunktem w Centrum Astronomicznym PAN w Warszawie. W pracy zajmuje się badaniami niejednorodnych modeli kosmologicznych i zagadką ciemnej energii. W czasie pisania tego artykułu przebywał na stażu podoktorskim na Uniwersytecie Kapsztadzkim w RPA
(Źródło: „Urania — PA” nr 6/2009)
  1. Odległość kątowa jest zdefiniowana jako DA = S/(4?), gdzie S jest powierzchnią sfery, z obserwatorem w centrum a supernową na jej brzegu.