O ciemnej materii Wszechświata w dniu święta Purim

O ciemnej materii Wszechświata
w dniu święta Purim

Marek Abramowicz, Mieczysław Abramowicz

Czarne dziury w ciemnej materii?

10 marca 2009 r., na wtorkowym colloquium w CAMK-u, czyli Centrum Astronomicznym Mikołaja Kopernika PAN w Warszawie, Marek Abramowicz przedstawił wyniki pracy (złożonej w grudniu 2008 r. w redakcji The Astrophysical Journal) No observational constraints from hypothetical collisions of hypothetical dark halo primordial black holes with galactic objects1. Praca bada weryfikowalność hipotezy, że część ciemnej materii w naszej Galaktyce może być zawarta w małych, pierwotnych czarnych dziurach. Jej wynik jest negatywny. W dużym i interesującym zakresie mas hipotetycznych pierwotnych czarnych dziur, które mogłyby stanowić część ciemnej materii (dalej „DMBH”, od dark matter black holes), hipotezy tej nie da się zweryfikować poprzez obserwacje skutków zderzeń DMBH z gwiazdami w naszej Galaktyce lub z Ziemią. Dla DMBH o masach 1016 [g] < MDMBH < 1025 [g], zderzenia są albo zbyt mało prawdopodobne (czas oczekiwania jest dłuższy od wieku Wszechświata, t ? 1/H0), albo zbyt mało energetyczne (żaden ze współczesnych teleskopów nie zarejestruje nawet jednego fotonu). Praca ocenia krytycznie znane do tej pory obserwacyjne ograniczenia na ilość DNBH o masach mniejszych niż 1016 [g] oraz większych niż 1025 [g]. Dla małych mas ograniczenia wynikają z porównania obserwowanego promieniowania gamma z oczekiwanym teoretycznie promieniowaniem Hawkinga. Dla dużych mas ograniczenia wynikają ze statystycznej analizy zjawiska mikrosoczewkowania. W obu przypadkach efekty są poniżej progu mierzalności, chodzi więc o górne granice.

Negatywny wynik pracy nie jest zaskakujący, a więc nie jest także specjalnie interesujący. Stanowi drobny (choć solidny) przyczynek, który nie byłby warty aż colloquium w CAMK-u, gdyby nie to, że jego temat dotyka kilku najbardziej fundamentalnych, do dziś nierozwiązanych, problemów współczesnej nauki. Rachunki przeprowadzone w omawianej pracy opierają się na założeniach często używanych w badaniu niektórych niestandardowych problemów kosmologii, dynamiki Galaktyki i astrofizyki, ale ani sprawdzonych eksperymentalnie, ani dostatecznie rozumianych teoretycznie. Dość wspomnieć, że promieniowanie Hawkinga, nawiasem mówiąc, nigdy nie zmierzone bezpośrednio lub pośrednio w jakimkolwiek eksperymencie, ma dla wielu fizyków niezadowalający status teoretyczny. Nie chodzi o to, że nie mamy jeszcze kwantowej grawitacji i rachunki prowadzi się w teorii półklasycznej, ale o to, że w świecie z dodatkowymi „dużymi” wymiarami (to znaczy z promieniem kompaktyfikacji znacząco większym od planckowskiego), formuły Hawkinga na natężenie promieniowania i, co za tym idzie, czasu życia małych czarnych dziur, ulegają drastycznym zmianom, gdyż silnie zależą od (nieznanej) ilości dodatkowych wymiarów i (nieznanego) promienia kompaktyfikacji.

Są też i inne nierozstrzygnięte kwestie, związane z formowaniem się struktur we Wszechświecie i dotyczące teoretycznych (bardzo niepewnych) przepowiedni na temat natury ciemnej materii w Galaktyce. Zresztą samo istnienie ciemnej materii jest kwestionowane przez niektórych teoretyków. Wśród alternatywnych wyjaśnień problemu „krzywych rotacji” najczęściej jest dyskutowana hipoteza MOND, którą sformułował Mordechai Milgrom ze słynnego Instytutu Weizmanna z Rehovotu2.

Mordechai Milgrom i jego MOND

W dużych odległościach od centrum Galaktyki, R > 10 [kpc], „krzywe rotacji” są płaskie: obserwowana prędkość rotacji gwiazd i jasnych (radiowo) obłoków gazu jest stała; nie zależy od odległości,

wzór 1

(1)

Prędkość rotacji zależy od grawitacji, a ta od ilości materii: im więcej masy, tym silniejsza grawitacja i tym szybsza rotacja. Teoria grawitacji Newtona podaje dokładne formuły pozwalające z obserwowanej prędkości rotacji wyliczyć, ile masy jest w Galaktyce. Wszelako z innych obserwacji, bardzo dokładnych zliczeń gwiazd i obłoków gazu wiadomo, ile jest w Galaktyce widocznej masy! Gdyby za grawitacje Galaktyki odpowiadała tylko widoczna masa, to krzywa rotacji musiałaby mieć zupełnie inną postać, V(R) = C0, R–1/2; C0 = const. Tak więc dwie opisane wyżej metody dają drastycznie różne wyniki. W konkretnych liczbach widać to nawet wyraźniej: pierwsza metoda (krzywa rotacji) daje o wiele większą masę Galaktyki, o około 90%, niż metoda druga (zliczenia). To jest prawdziwy problem! Ma on dokładnie dwa możliwe rozwiązania:

1. Obserwacje są złe: nie widzimy większości masy w Galaktyce. Niewidoczna masa jest tajemniczą „ciemną materią”. To tylko nazwa: musimy zbadać własności ciemnej materii i odkryć, z czego się składa. To jest rozwiązanie preferowane dziś przez prawie wszystkich astrofizyków. Przyjęte zostało także w omawianej podczas colloquium pracy Marka Abramowicza i innych, gdzie rozważano hipotezę, że ciemna materia może się częściowo składać z bardzo małych czarnych dzur.

2. Teoria jest zła: w przypadku Galaktyki teoria Newtona błędnie wylicza prędkość rotacji z rozkładu masy — coś trzeba zmienić. To jest właśnie pomysł Milgroma. Powiedzmy od razu, bardzo odważny, bo teoria Newtona została przecież sprawdzona i potwierdzona w niezliczonych eksperymentach i obserwacjach. Wynika z niej spektakularna precyzja wszystkich programów kosmicznych. Dlatego Bill Anders, dowódca Apollo 8, na pytanie z Houston, kto teraz prowadzi kosmiczny statek, odpowiedział: „Przeważnie Newton” (dokładny cytat: I think Isaac Newton is doing most of the driving now).

Milgrom zauważył, że w tych odległościach od centrum Galaktyki gdzie krzywa rotacji jest płaska, przyśpieszenie orbitalne materii jest bardzo małe. Tak małe przyśpieszenia nie występują w wewnętrznych częściach Układu Słonecznego, to znaczy tam, gdzie teoria Newtona została dokładnie obserwacyjnie i eksperymentalnie sprawdzona. Załóżmy, mówi Milgrom, że słuszne dla stosunkowo dużych przyśpieszeń a > a0, standardowe trzecie prawo dynamiki Newtona, siła F równa przyśpieszeniu a pomnożonemu przez masę m,

wzór 2

(2)

trzeba zmodyfikować dla małych przyśpieszeń a < a0 tak, by przybrało postać,

wzór 3

(3)

To jest właśnie teoria MOND Milgroma w swym najprostszym i najbardziej znanym sformułowaniu3. Stała a0 = 1,2 × 10–10 [m/s2] ma wymiar przyśpieszenia i jest nową stałą przyrody, taką jak prędkość światła c, stała grawitacji G lub stała Plancka h. Milgrom zauważył, że jej numeryczna wartość określona jest pięknym warunkiem: cząstka startująca na początku świata z prędkością v = 0 i poddana stałemu przyśpieszeniu a osiągnie dziś prędkość światła v = c, jeśli a = a0.

Przyrównując siłę grawitacji do siły Milgroma opisanej wzorem (3), otrzymamy

wzór 4

(4)

gdzie M0 oznacza obserwowaną w zliczeniach masę Galaktyki. Stąd wylicza się przyśpieszenie

wzór 5

(5)

które musi być równe przyśpieszeniu orbitalnemu V2(R)/R, co prowadzi do warunku

wzór 6

(6)

Z ostatniego wzoru wylicza się ostatecznie prędkość rotacji V(R),

wzór 7

(7)

Jest to wzór taki sam, jak uzyskany z obserwacji wzór (1). Teoria Milgroma wyjaśnia więc płaskie krzywe rotacji! W istocie wyjaśnia o wiele więcej. Różne galaktyki mają oczywiście różne „obserwowane masy M0”, otrzymane ze zliczeń, i różne wartości „obserwowanych prędkości V0”, otrzymane z płaskich części krzywych rotacji. Każda galaktyka charakteryzuje się odrębną, indywidualną parą (M0, V0). Nie ma powodu a priori, aby obserwacyjnie wyznaczone pary wielkości (M0, V0) spełniały teoretycznie przewidziany przez MOND-a związek

wzór 8

(8)

A jednak właśnie tak dokładnie jest! Sprawdzono prawdziwość przepowiedni MOND-a w setkach galaktyk — wszystkie sprawdzone spełniają wzór (8). Czy to oznacza, że teoria MOND jest poprawna? Tego nikt nie wie. Większość astrofizyków uważa, że nie. Przytaczane przeciw MOND-owi argumenty są głównie teoretycznej natury. Na przykład, że nie ma eleganckiej relatywistycznej wersji MOND-a lub MOND nie wynika z żadnych fundamentalnych przesłanek. Niektórzy twierdzą, że rysuje się już wyraźnie możliwość obserwacyjnego obalenia MOND-a. Na razie MOND pozostaje ciekawą i możliwą alternatywą ciemnej materii. Nieoficjalna ankieta przeprowadzona w CAMK-u na temat obserwacyjnego statusu MOND-a i zaprezentowana podczas colloquium nie była konkluzywna, a jeden z ankietowanych, wybitny kosmolog, trzykrotnie zmienił zdanie w trakcie ankiety. Pani Marta, kelnerka w CAMK-u, która codziennie przysłuchuje się astronomicznym dyskusjom podczas obiadów, wzięła udział w ankiecie i głosowała na MOND-a.

Colloquium w CAMK-u wypadło podczas żydowskiego święta Purim, w czasie którego tradycyjnie odgrywane są krótkie przedstawienia teatralne, zwane purimszpilami, nawiązujące zarówno do spraw bieżących, jak i do biblijnej historii, w której występuje jako bardzo pozytywny bohater pewien biblijny Mordechaj. Było więc naturalne, by skojarzyć biblijnego Mordechaja z profesorem Mordechajem Milgromem z Rehovotu i wystawić w CAMK-u purimszpil o jego MOND-zie.

Purim i purimszpile

W kalendarzu żydowskim, obfitującym w uroczystości podniosłe i poważne, święto Purim, radosne święto odmienionych losów Narodu, jest czymś wyjątkowym. Przez Polaków zwane było karnawałem żydowskim, bowiem Żydzi poprzebierani w fantazyjne i wielobarwne stroje wychodzili na place i ulice, grali, śpiewali i tańczyli do upadłego.

Święto przypada 14 i 15 dnia miesiąca Adar (w roku 5769 przypadło 10 i 11 marca 2009). Ustanowione zostało na pamiątkę wydarzeń opisanych w Księdze Estery (Megilat Ester) około V wieku p.n.e. Piękna Estera była drugą żoną perskiego władcy Achaszwerosa. Jej kuzyn i opiekun, Mordechaj, nie zdając sobie sprawy z tego, że antysemitów nie należy drażnić, obraził pierwszego ministra króla — wszechwładnego Hamana. Rozwścieczony minister ułożył pierwszy w historii świata plan „ostatecznego rozwiązania kwestii żydowskiej”: namówił króla, by ten — mocą specjalnego dekretu — zgładził jednego dnia wszystkich Żydów. Datę miano ustalić ciągnąc losy — „pur”. Dzięki wstawiennictwu Estery król Achaszwerosz ułaskawił Żydów, a powiesić kazał Hamana i jego siedmiu synów. „Przetoż żydzi mieszkający po wsiach, i po miasteczkach niemurowanych, obchodzą dzień czternasty miesiąca Adar z weselem, i z ucztami, i z dobrą myślą, posyłając upominki jeden drugiemu”4.

W synagodze

Obchody świąteczne poprzedza ścisły, jednodniowy post Estery. Trwa od wschodu do zachodu słońca, co nadaje świętu nieco astronomicznego wymiaru. W tym czasie należy recytować błagalne modlitwy i czytać odpowiednie fragmenty Tory. Post kończy się z nadejściem nocy i wówczas nastaje czas święta. Najważniejszą wówczas czynnością jest wysłuchanie w synagodze Megili Ester, do czego zobowiązany jest każdy Żyd — bez względu na płeć — dwa razy w ciągu Purim. Każdy słuchacz powinien włożyć z tej okazji sobotnie, odświętne ubranie. Małe dzieci pozostawia się w domu, by nie przeszkadzały dorosłym, i tam czyta się im zwój Estery. Imię znienawidzonego, występnego Hamana knującego przeciwko Żydom, występuje w Księdze Estery siedemdziesiąt siedem razy. Przyjął się zwyczaj, że ilekroć kantor wyczytywał imię Hamana, w synagodze wybuchał nieopisany hałas i wrzawa; znienawidzone imię ministra zagłuszano przy pomocy specjalnych kołatek i terkotek, tupaniem, stukaniem w pulpity i głośnymi okrzykami dezaprobaty, co jednoznacznie przywodzi skojarzenie z zachowaniem deputowanych w niektórych parlamentach środkowoeuropejskich, świadcząc o ich judeochrześcijańskiej proweniencji. W niektórych rejonach był również zwyczaj palenia kukły Hamana; cztery lub pięć dni przed Purim zawieszano kukłę ministra na dachu, a w dniu święta palono ją w ognisku, żartując przy tym, śpiewając i skacząc przez ogień. Również i ten zwyczaj zagościł w publicznych zachowaniach środkowoeuropejskich, Hamana zastąpił jedynie Truman, Adenauer bądź Wałęsa.

W domu

Na święto Purim wypieka się hamantasze (uszy Hamana), rożki nadziewane makiem lub śliwkami oraz przygotowuje się dużo innego dobrego jadła i wina. A wina w Purim używa się dużo; jest to jedyne święto żydowskie, w którym dopuszczalny jest rausz alkoholowy. Więcej: każdy dorosły biesiadujący Żyd powinien w Purim wypić tyle, by nie móc odróżnić słów: „baruch Mordechaj” od „arur Haman” (błogosławiony Mordechaj i przeklęty Haman). Zwyczaj ten, stojący w sprzeczności z wszelkimi ustawami o wychowaniu w trzeźwości, zwany „ad-lo-jada” (z aramejskiego: „aż nie będzie wiedział”) interpretowany jest przez Halachę, żydowskie prawo, jako przypomnienie, że najważniejsze wydarzenia z Księgi Estery zostały zapoczątkowane przez działanie wina. Miłym obowiązkiem święta jest „szłach-monesn” (przesyłanie darów), czyli tradycja obdarowywania siebie prezentami. Każdy człowiek — zgodnie z Halachą — zobowiązany jest do przesłania bliźnim co najmniej dwóch podarków (zwykle są to smakołyki, np. hamantasze). Jest to nakaz, który należy spełnić w ciągu dnia, tj. od powrotu do domu z synagogi do zachodu słońca. Halacha zachęca, by zamiast wystawnych uczt obdarowywać biednych, nieszczęśliwych, sieroty, wdowy.

W teatrze

Rys. 1 Marc Chagall Purim

Dawniej charakterystyczny koloryt świętu nadawali wesołkowie purimowi (purimszpilerzy). Poprzebierani w wymyślne stroje wędrowali od domu do domu, odgrywając sceny z Biblii, parodiując i przedrzeźniając przy okazji bliźnich. W ciągu wieków owe purimszpil, gry purimowe, rozrosły się, oderwały od świątecznych obchodów, stając się zalążkiem współczesnego teatru żydowskiego. Aktorzy purimowi, rekrutujący się zazwyczaj z warstw najbiedniejszych, nie cieszyli się zbytnim prestiżem, określenie purimszpiler często używane było pogardliwie. Złożyły się na to dwie przyczyny. Pierwsza — i chyba najważniejsza — to wroga postawa judaizmu wobec teatru, wszelkich jego przejawów. Korzenie żydowskiego sprzeciwu wobec teatru wywodzą się zapewne z pierwszego i podstawowego przykazania („Nie będziesz miał bogów innych przede mną. Nie czyń sobie obrazu rytego ani żadnego podobieństwa rzeczy tych, które są na niebie w górze, i które na ziemi nisko, i które są w wodach pod ziemią”5) oraz przykazań powtórzonego prawa przekazanych Narodowi przez Mojżesza („Niech nie bierze niewiasta na się szat męskich ani niech się nie obłóczy mąż w szatę niewieścią; albowiem jest obrzydliwością Panu, Bogu twemu, ktoby to uczynił”6). Talmud wprost zakazuje przebywania „w teatrach i cyrkach”, ponieważ jest to miejsce grzesznego bałwochwalstwa i bluźnierstwa (Zarah Avodah 18b; Shabbat 150a). Niechętna postawa wobec widowisk teatralnych dotrwała — szczególnie w środowiskach ortodoksyjnych — do czasów współczesnych; w niektórych modlitewnikach do dziś widnieją słowa: „Dziękuję Ci Boże, że nie jestem wśród tych, którzy chodzą do teatrów i cyrków”. Drugim powodem niechęci do purimowych wesołków był ich rozwiązły tryb życia (w Talmudzie podkreśla się, że aktorzy bluźnią, przeklinają i szydzą; ciekawe, co powiedziałby Talmud o polskich politykach?) oraz to, że potrafili wyśmiewać i parodiować święte teksty religijne (również modlitwy) oraz święte autorytety żydowskiej tradycji (nawet — tfu! cóż za ohyda! — proroków!). Dla wielu Żydów było to nie do przyjęcia. Ilustracją stosunku niektórych rabinów do purimowych wesołków jest wspomnienie Isaaca Bashevisa Singera (którego ojciec był rabinem) z młodości:

„Wszyscy sąsiedzi przesyłali szalachmons, czyli upominki purimowe. Posłańcy przychodzili od wczesnego popołudnia. […] Potem zjawiali się przebierańcy w maskach, w hełmach na głowach, z tekturowymi tarczami i mieczami oklejonymi złotym albo srebrnym papierem. Dla mnie był to wspaniały dzień. Rodzicom jednak nie podobały się te ekstrawagancje. […] Z przebierańcami też rozprawiano się szybko, gdyż maski i przyśpiewki pachniały teatrem, teatr zaś to było coś trefnego, nieczystego”7.

Rys. 3 Od lewej, Narrator i Mordechaj

Na szczęście nie wszędzie i nie zawsze purimowi grajkowie spotykali się z niechęcią. Z czasem zespoły zbierane wyłącznie do odegrania purimszpil zaczęły sięgać po inny repertuar, grając przedstawienia nie tylko w czasie święta Purim: z purimszpilerów i tzw. „śpiewaków Brodzkich” powstał w latach 70. XIX wieku pierwszy w historii, nowożytny teatr Abrahama Goldfadena, z czasem przekształcając się w pierwszą, zawodową scenę teatru żydowskiego. Dziś purimszpil stały się domeną dzieci i — jak widać — astronomów, bowiem tradycja gier purimowych odradza się nie tylko w polskich gminach żydowskich (gdzie w przedstawieniach występują głównie dzieci), ale również w CAMK-u…

„Purimszpil astrofizyczna” w CAMK-u

Autor: Mieczysław Abramowicz8

Rys. 2 Piękna Estera

Osoby: NARRATOR (Marek Sarna), MORDECHAJ (Marek Abramowicz), ESTERA (Agata Różańska), PUBLICZNOŚĆ (pracownicy CAMK-u).

Światowa premiera: Warszawa, 10 marca 2009 (dzień po święcie Purim).

NARRATOR: Kto policzy ładnie, a kto może zgadnie: pół i jedna czwarta9, ile to wypadnie? Dla tych, którzy wiedzą, grę dziś przedstawiamy i historię Ester pięknej wam podamy.

Rys. 4 Aktywni uczestnicy

MORDECHAJ: Jam jest ten Mordechaj, mędrzec z Rehovotu, który profesorów nabawił kłopotu; oni wciąż gadają o krzywej rotacji i nie wiedzą, nędzni, że nie mają racji. Na przykład doktor Haman10, głupi, perski szmondak, przecież on nie wierzy w wielkość mego MOND-a i króla Ahaszwera, z synami, podpuszcza. Głupia, tępa, bezmyślna muzułmańska tłuszcza.

ESTERA: A ja jestem Estera, Mordechaja krewna; i wielkości MOND-a zawsze byłam pewna. A że mam ja z królem… stosunki dość bliskie, wytłumaczę jemu te problemy wszystkie. I powiem ja królowi, żeby się nie biesił i doktora Hamana na drzewie powiesił.

MORDECHAJ: Taki czeka koniec każdego Hamana: stryczek, gałąź drzewa, kariera złamana.

ESTERA: Niech nasza historia będzie wam przestrogą: mądrzy ludzie MOND-em każdą Persję zmogą.

RAZEM (śpiewają na melodię „Krakowiaczek ci ja”): Hopsa-sa-sa, hopsasa-sa, nie istnieje ciemna masa. Wbijcie sobie to dziś w łeb, kto nie wierzy, ten jest kiep!

Rys. 5 Publiczność

Przedstawienie oglądali wszyscy pracownicy CAMK-u, sekretarki, dyrektor, profesorowie, studenci, portierzy, kucharki, księgowe, technicy komputerowi i bibliotekarki, robiąc stosowne hałasy przy trzykrotnie wypowiadanym ze sceny imieniu Hamana. Obecni wśród publiczności znani przeciwnicy teorii MOND też próbowali robić hałas, gdy słowo to padało ze sceny, także trzykrotnie, ale zostali powstrzymani. Po przedstawieniu dobry nastrój utrzymał się cały dzień, było bowiem dość wina i purimowych ciasteczek od Bliklego.

Baruch Mordecai! Arar Haman!

Marek Abramowicz jest kierownikiem katedry i profesorem astrofizyki na uniwersytecie w Göteborgu w Szwecji oraz profesorem w Centrum Astronomicznym PAN w Warszawie. Jego Brat Mieczysław jest gdańskim historykiem i publicystą

(Źródło: „Urania — PA” nr 5/2009)
  1. Abramowicz, Becker, Biermann, Garzilli, Johansson, Lei (2008); arXiv:0810.3140. Praca uzyskała przychylną recenzję i na pewno ukaże się w druku w roku 2009. Recenzent przedstawił wyjątkowo długą, ale bardzo pomocną, listę uwag i koniecznych zmian, nad którymi współautorzy, (rozrzuceni po trzech kontynentach) teraz pracują. 
  2. Rehovot (położony na południe od Tel Avivu) nie jest miastem biblijnym jak Jerozolima czy Jerycho — został założony w roku 1890 przez Żydów z Warszawy. Chaim Weizmann, pierwszy prezydent Izraela, mieszkał w Rehovocie i jest tu pochowany. Założył słynny instytut, dziś noszący jego imię. Mordechai Milgrom, twórca MOND-a, jest profesorem w Instytucie Weizmanna w Rehovocie. 
  3. MOND = (MO)dified (N)ewtonian (D)ynamics, czyli zmodyfikowana dynamika Newtona. Polecamy artykuł o MOND-zie w Wikipedii (Modified Newtonian dynamics). 
  4. Est 9,19 (cyt. wg Biblii Gdańskiej, Brytyjskie i Zagraniczne Towarzystwo Biblijne, Warszawa, 1986). 
  5. Ex 20,3–4. 
  6. Pwt 22,5. 
  7. I. B. Singer, Przysięga, „Urząd mojego ojca”, przekład I. Wyrzykowska, Warszawa 1992, s. 66. 
  8. Mieczysław Abramowicz napisał (inny) purimszpil już dawniej. „Purimszpil” nazywa się jeden z rozdziałów jego książki „Każdy przyniósł, co miał najlepszego”, wydanej w roku 2005, w gdańskiej oficynie Słowo-Obraz-Terytoria. Jedna z recenzji on-line (w Gazecie Wyborczej): http://wyborcza.pl/1,75517,3014578.html. Książka była nominowana do Nagrody Nike. 
  9. „Pół i jedna czwarta” dotyczy rodzinnej tajemnicy: jeden z autorów tego sprawozdania tłumaczył niedawno drugiemu arytmetykę pozaskończoną Cantora, zaczynając od paradoksu Zenona o wyścigu Achillesa i żółwia. Jak wiadomo, wyjaśnienie paradoksu polega na wykazaniu, że szereg „pół i jedna czwarta”, i jedna ósma, i tak dalej do nieskończoności, to znaczy szereg 1/2 + 1/4 + 1/8 + …, ma granicę skończoną. To okazało się jednak zbyt nużące dla drugiego autora, co zdumiało pierwszego. 
  10. Przy każdym wspomnieniu imienia ohydnego Hamana, PUBLICZNOŚĆ wznosi wrogie okrzyki i robi wszelkie inne hałasy.