Dodatek 1 - okręgi równowagi

Dodatek 1
Okręgi równowagi

Dane: x — zagłębienie w środku lustra, h — grubość lustra na środku, D — średnica lustra, wzór — średnica otworu w środku lustra.

Założenia:

  1. Gęstość szkła jest stała.
  2. Figura górnej powierzchni lustra jest idealną paraboloidą obrotową.
  3. Nie uwzględniamy fazki na brzegu lustra.

A. Przypadek 3 i 6 punktów (m1 = m2)

W tym przypadku V1 = V2, ale V = V1 + V2, gdzie V jest objętością całej płyty. Z tego wynika, że:

wzór (1)(1)

Z twierdzenia statyki (Pappusa-Guldina) wynika, że V = 2πSx0, a V1 = 2πS1xe, gdzie x0 i xe są odległościami środków ciężkości powierzchni przekrojów poprzecznych S i S1 od środka lustra. Zatem:

wzór (2)(2)

Z kolei z definicji środka ciężkości mamy:

wzór (3)(3)

gdzie granica w liczniku jest momentem statycznym M pola figury S.

Zatem z (1) i (2) uwzględniając (3), mamy:

wzór (4)(4)

Obliczmy momenty M dla S i S1. Równanie opisujące górną krawędź przekroju lustra jest równaniem paraboli: y = kx2, gdzie k = 4h/D2, zatem momenty będą wynosiły odpowiednio:

Dla pola wzór

wzór

Dla pola wzór

wzór

Wstawiając uzyskane formuły do równania (4) mamy:

wzór

Kładąc req2 = ue i porządkując powyższe równanie dostajemy:

wzór (5)(5)

Równanie (5) jest równaniem kwadratowym na zmienną u, więc można je analitycznie rozwiązać:

wzór

Interesuje nas pierwiastek dodatni na req czyli:

wzór

B. Przypadek dla 3 i 6 punktów z otworem o średnicy wzór

W przypadku gdy w centrum płyty jest otwór, równanie (4) pozostaje w mocy, zmienią się jedynie dolne granice całkowania przy wyliczaniu momentów M a mianowicie:

Dla pola wzór

wzór

Dla pola wzór

wzór

Odpowiednie równanie kwadratowe, wynikające ze wstawienia powyższych formuł oraz uwzględnieniu równania (4), nieco się skomplikuje:

wzór (6)(6)

Uwzględniając ue = req2 otrzymujemy równanie kwadratowe i możemy obliczyć deltę:

wzór

Stąd wyliczamy pierwiastek dodatni, będący rozwiązaniem:

wzór

C. Przypadek 9 i 18 punktów dla pełnej płyty m1 = 2m2

Jest to przypadek bardziej skomplikowany, gdyż musimy znaleźć dwa okręgi równowagi. Postępujemy tutaj dwuetapowo. Najpierw znajdujemy pośredni okrąg równowagi re z warunku m1 = 2m2, czyli V = 3V1, a co za tym idzie:

wzór (7)(7)

Formuły na M i M1 są identyczne jak w punkcie A artykułu, zmieni się nieco tylko równanie kwadratowe uzyskane z rozpisania formuły (7):

wzór (8)(8)

Delta dla równania (8) wyniesie:

wzór

a stąd dodatni pierwiastek na req:

wzór

Okrąg o promieniu req dzieli płytę na dwie podpierane części. W drugim etapie, dla każdej z tych części musimy wyliczyć jej własny okręg równowagi, zgodnie z założeniem zawartym w równaniu (1) i w analogiczny sposób jak dla płyty na 3 i 6 punktach. Znajdźmy zatem najpierw promień zewnętrznego okręgu równowagi req2 i wewnętrznego req1 przy obliczonym req.

1. Zewnętrzny okrąg równowagi req2

wzór (9)(9)

Dla pola wzór

wzór

Dla pola wzór

wzór

Po wstawieniu do wzoru (9) i uporządkowaniu mamy:

wzór (10)

wzór (10)(10)

gdzie: u2 = req22; delta dla równania (10) wynosi:

wzór

wzór

2. Wewnętrzny okrąg równowagi req1

wzór (11)(11)

Dla pola wzór

wzór

Dla pola wzór

wzór

Kładąc u1 = req12 mamy:

wzór (12)(12)

Delta dla równania (12) wynosi:

wzór

wzór

D. Przypadek dla 9 i 18 punktów z otworem w płycie o średnicy wzór

W pierwszym etapie jest to sytuacja analogiczna do przypadku B. Równania na momenty będą takie same, jak w B. Zmieni się jedynie równanie kwadratowe na r1 z powodu użycia formuły (7).

wzór

wzór (13)

wzór (13)(13)

wzór

wzór

1. Zewnętrzny okrąg równowagi req2

Dla zewnętrznego okręgu równowagi wzory na M i req1 są takie same. Również takie samo jest równanie kwadratowe na req1. Oczywiście liczbowo rozwiązanie będzie inne, ze względu na inną wartość req.

2. Wewnętrzny okrąg równowagi req1

Dla wewnętrznego okręgu równowagi mamy następujące równania na momenty M:

Dla pola wzór

wzór

Dla pola wzór

wzór

Wstawiając je do równania (11), kładąc req12 = u1 i porządkując, otrzymujemy równanie kwadratowe na u1:

wzór (14)

wzór (14)(14)

wzór

wzór

Lucjan Newelski
Tomasz Krzyt